XIV Colóquio Conesul de Filosofia das Ciências Formais

Santa Maria (por Ronai Rocha)

Quantificação e Generalidade

Programa de Pós-Graduação em Filosofia

Universidade Federal de Santa Maria

Programação

Sábado - 06/11/2010

20:30 – 21:00 Cerimônia de abertura
21:00 – 22:30 Conferência de abertura

Marco Ruffino (UFRJ): Quantificação restrita e intenção
Róbson Ramos dos Reis (UFSM): moderador

Domingo - 07/11/2010

Manhã

10:00 – 11:00 Ludovic Soutif (PUC-Rio): Quantificação não restrita e expressivismo lógico no Tractatus de Wittgenstein
11:00 – 12:00 Camila Jourdan (PUC-Rio): Generalidade e quantificação no período intermediário do pensamento de Wittgenstein.
Debatedor da sessão: Rogério Corrêa (UFSM)

Tarde

14:30 – 15:30 Dirk Greimann (UFF): Quantificação de segunda ordem: problemas internos da concepção fregeana
15:30 – 16:30 Sérgio Schultz (PUC-Rio): Sobre o que falam as sentenças universais?
Debatedor da Sessão: Jaime Rebello

16:30 – 17:00 Coffee-break

17:00 – 18:00 Max de Castro (UAM/México): De la posibilidad a la existencia matemática
18:00 – 19:30 José Ferreiros (Universidad de Sevilla/Espanha): Hilbert, el logicismo, y la existencia en matematicas
Frank Thomas Sautter (UFSM): moderador

Segunda-feira - 08/11/2010

Manhã

10:00 – 11:00 Alexandre Machado (UFPR): Quantificação e o debate sobre o realismo
11:00 – 12:00 André Porto (UFG): Singularidade e percepção
Debatedor da sessão: Guido Imaguire (UFRJ)

Tarde

14:30 – 15:30 Wagner Sanz (UFG): Quantificação e generalidade em BHK
15:30 – 16:30 Javier Legris (UBA/Argentina): Diagramas, generalidad y quantificación.
Debatedor da Sessão: Frank Thomas Sautter

16:30 – 17:00 Coffee-break

17:00 - 18:00 Walter Carnielli (UNICAMP): Sobre filósofos que admiram-se somente uns aos outros, tudo, muito e alguns
18:00 – 19:30 Oswaldo Chateaubriand (PUC-Rio): Quantificação e generalidade
Abel Lassalle Casanave: Moderador

Terça-feira - 09/11/2010

Manhã

10:00 – 12:00 Reunião do Grupo de Pesquisa em Filosofia das Ciências Formais

Tarde

14:30 – 15:30 Jorge Molina (USC, UERGS): Os quantificadores indefinidos em posição predicativa e a enunciação: uma análise lógica e linguística
15:30 – 16:30 Oscar Esquisabel (UNLP/Argentina): El proyecto de cálculo lógico de Lambert
Debatedor da Sessão: José Seoane

16:30 – 17:00 Coffee-break

17:00 – 18:00 Sílvio Pinto (UAM/México): A explicação matemática.
18:00 – 19:30 Paulo Veloso (UFRJ), Luiz Carlos Pereira (PUC-Rio), Hermann Haeusler (PUC-Rio): Validades existenciais e possibilidades válidas.

Quarta-feira - 10/11/2010

10:00 – 11:30 Conferência de Encerramento

Jairo José da Silva (UNESP): Estruturalismo e a aplicabilidade da matemática.
Ronai Pires da Rocha (UFSM): Moderador

Fotos do evento: Picasa

Bolsa Prodoc na UFPR

O Programa de pós Graduação em Filosofia da Universidade Federal do Paraná informa que, até dia 15 de lulho, estão abertas as inscrições de candidatos a uma bolsa Prodoc, para dar continuidade a um projeto já em execução sobre filosofia da matematica. A bolsa destina-se a doutores em filosofia que não possuam vínculo empregatício. O período da bolsa vai de setembro de 2010 a agosto de 2011. Os interessados devem enviar um projeto sucinto sobre filosofia da matemática e temas afins, com plano de atividades, e currículo, até o dia 15 de julho, para esse endereço de email (esse é um formulário por meio do qual será informado o endereço de email). Mais informações sobre o projeto Prodoc em execução podem ser obtidas por meio desse mesmo endereço.

Dois Pontos: Gramática, Verdade e Inferência

A última edição da Revista Dois Pontos (v. 6, n. 2, Gramática Verdade e Inferência) publica textos do Grupo Semântica e Filosofia da Lógica, sediado em Gioânia. Eis o índice:

Editorial

Araceli Velloso, André Porto

Artigos

Diagramas e Provas
Abel Lassalle Casanave, Bruno Vaz, Sérgio Schultz

Fazedores-de-verdade
Abílio Azambuja Rodrigues Filho

Conhecimento, Verdade e Significado
Alexandre N. Machado

Wittgenstein Sobre as Provas Indutivas
André Porto

Agregados, Conjuntos e a Tese da Indeterminação da Referência
Araceli Velloso

Gramática e Verdade Necessária
João Vergílio Gallerani Cuter

Validades Existenciais e Enigmas Relacionados
Paulo A. S. Veloso, Luiz Carlos Pereira, Edward H. Haeusler

As Filosofias da Matemática de Wittgenstein: Intensionalismo Sistêmico e a Aplicação de um Novo Método (Sobre o Desenvolvimento da Filosofia da Matemática de Wittgenstein)
Mauro Engelmann

Unsafe reasoning: a survey
Paulo Faria

(em pé da esq, para a dir.) Paulo Faria, eu, André Porto, Araceli Velloso, Abilio Rodrigues, (agachados, da esq. para a dir.) João Vergilio Cuter e Abel Casanave.

XIII Colóquio Conesul de Filosofia das Ciências Formais

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PROGRAMAÇÃO

Sábado, 24/10/2009:

20:30 – 21:00 Cerimônia de abertura

21:00 – 22:30 Conferência de abertura:

Oswaldo Chateaubriand (PUC-Rio): Verdade e Conhecimento Matemático

Frank Thomas Sautter (UFSM): moderador

Domingo, 25/10/2009:

10:00 – 11:00 Alexandre Noronha Machado (UFPR): Medição e Contingente a priori

11:00 – 12:00 Guido Imaguire (UFC): Sobre a Natureza da Lógica e da Matemática

14:30 – 15:30 Dirk Greimann (UFC): O Problema Júlio César

15:30 – 16:30 Marco Ruffino (UFRJ): O Problema Júlio César

16:30 – 17:00 Coffee-break

17:30 – 18:00 André Porto (UFG): Os naturais dados por Deus: indução e recursão

18:00 – 19:00 Paulo Veloso (UFRJ): Os naturais dados por Deus: indução e recursão

Segunda-feira, 26/10/2009:

10:00 – 12:00 Reunião PROCAD/CAPES “Aspectos lógico-filosóficos da negação” (restrita aos pesquisadores)

14:00 – 15:00 Jorge Molina (UNISC, UERGS): A crítica de Leibniz à geometria algébrica cartesiana: comparando programas de pesquisa

15:00 – 16:00 Oscar Esquisabel (UNLP): Leibniz: lógica, metafísica y matemática

16:00 – 16:30 Coffee-break

16:30 – 17:30 Wagner Sanz (UFG): A Noção de Construção Intuicionista e BHK

17:30 – 18:30 Javier Legris (UBA): Demostración, semántica y la concepción universalista del lenguaje

Terça-feira, 27/10/2009:

10:00 –11:00 Jaime Rebello (UFRGS): Ontologia e Entidades Matemáticas

11:00 – 12:00 Rogério Corrêa (UFSM): Sobre a Natureza das Operações no Tractatus

14:30 – 15:30 Carlos Miraglia (UFPEL): É a geometria de Kant visual?

15:30 – 16:30 Jairo José da Silva (UNESP): O Conceito de Estrutura Matemática

16:30 – 17:00 Coffee-break

17:00 – 18:00 Luiz Carlos Pereira (PUC-Rio): título a confirmar

18:00 – 19:00 José Seoane (UDELAR): Elucidando el concepto de demostración. Observaciones sobre Chateaubriand.

Quarta-feira, 28/10/2009:

10:00 – 11:30 Conferência de encerramento

Abel Lassalle Casanave (UFSM): Demonstrações katholicas e demonstrações ectheticas

Frank Thomas Sautter (UFSM): moderador

Bolsa Prodoc na UFPR

O Programa de pós Graduação em Filosofia da Universidade Federal do Paraná informa que está prorrogando o prazo de inscrição de candidatos a uma bolsa Prodoc, para dar continuidade a um projeto já em execução sobre filosofia da matematica. A bolsa destina-se a doutores em filosofia que não possuam vínculo empregatício. O período da bolsa vai do segundo semestre de 2009 ao final de 2010, com possibilidade de renovação. Os interessados devem enviar um projeto sucinto sobre filosofia da matemática e temas afins, com plano de atividades, e currículo, até o dia 30 de setembro, para esse e-mail (Esse é um formulário por meio do qual será informado o endereço de e-mail para enviar os anexos.). Mais informações sobre o projeto Prodoc em execução podem ser obtidas por meio desse mesmo email.

da Costa

Quando iniciei meu curso de graduação em filosofia, o primeiro texto que me foi indicado para ler, na disciplina de lógica, foi "A Superação da Metafísica Mediante a Análise Lógica da Linguagem", de Rudolf Carnap (lógico e filósofo analítico que pertenceu ao Círculo de Viena), um texto em que Carnap não fala muito bem de Heidegger, para dizer o mínimo. Também foi indicada a leitura da introdução de Introdução à Lógica Elementar com o Símbolo de Hilbert, de Newton C.A. da Costa e Rejane Carrion. Nessa introdução, os autores falam das lógicas não-clássicas, dentre as quais está a lógica paraconsistente. Lembro que fiquei muito impressionado com a lógica paraconsistente (uma lógica na qual nem toda inconsistência é trivial e, por isso, pode ser usada para se fazer inferências a partir de teorias inconsistentes[*]), especialmente por causa das perguntas instigantes do professor de lógica, uma das quais ainda lembro: como devemos entender a racionalidade a partir dessa lógica? Esse professor de lógica era Róbson Ramos dos Reis, um especialista em Heidegger... Me sinto afortunado pelo fato que, mesmo não sendo especialista em lógica e estar estudando um autor nem sempre bem tratado pela filosofia analítica, meu professor de lógica percebeu a importância de Carnap e dos desenvolvimentos mais recentes da lógica para expor seus alunos a eles. Me senti assim, afortunado, quando hoje falei com um estudante graduado em filosofia que nunca tinha ouvido falar em Newton da Costa. Eis que hoje tive o grande prazer de finalmente conhecer o autor daquele pequeno livro de introdução à lógica que me impressionou tanto no início da minha vida acadêmica. Assisti a uma palestra do Prof. Newton da Costa na UFPR. Ele falou muito e de forma contagiantemente apaixonada sobre filosofia (linguagem, verdade, ciência, metafísica). Mas sua palestra não foi no Departamento de Filosofia. Foi no Departamento de Matemática... Mas o convite foi feito e ele aceitou amavelmente realizar, em breve, um trabalho no Departamento de Filosofia.

A obra do Prof. Newton da Costa é reconhecida internacionalmente, tanto em lógica quanto em filosofia da lógica, como atesta o verbete Paraconsistent Logic da Stanford Encyclopedia of Philosophy, na qual Graham Priest, um importante filósofo da lógica contemporâneo, cita algumas obras de da Costa e o aponta como um dos criadores da lógica paraconsistente.

Aqui se pode ler uma entrevista do Prof. Newton da Costa.

Eros de Carvalho também assistiu à palestra e comentou aqui.

[*] Uma teoria inconsistente é uma teoria da qual se pode inferir uma proposição e sua negação (p e não-p). Uma teoria trivial é uma teoria da qual se pode inferir validamente qualquer proposição. Segundo a lógica clássica (na qual valem os princípios de identidade, do terceiro excluído e de não contradição), toda inconsistência é trivial, ou seja, de toda teoria inconsistente, se pode inferir validamente qualquer proposição. Por isso, nenhuma teoria incosistente, segundo a lógica clássica, é informativa. Mas na lógica paraconsistente, nem toda teoria inconsistente é trivial e, por isso, algumas teorias inconsistentes são informativas.

Naturalismos

Julgar o método matemático de qualquer lugar privilegiado fora da matemática, do lugar privilegiado da físca, por exemplo, me parece ir contra o espírito fundamental que subjaz todo naturalismo: a convicção de que uma empreitada bem sucedida, seja a ciência ou a matemática, deveria ser avaliada em seus próprios termos, que uma tal empreitada não deveria estar submetida à crítica de, e não tem necessidade de apoio de, um ponto de vista externo, supostamente superior. O que proponho aqui é um naturalismo matemático que extende o mesmo respeito à prática matemática que um naturalista quineano extende à prática científica. São, afinal, esses métodos -- os métodos reais da matemática -- não os substitutos quineanos, que têm levado ao notável sucesso da matemática moderna.

-- Penelope Maddy (Naturalism in Mathematics. Oxford: Clarendon Press, 1997, p. 184).

II Colóquio de Semântica e Filosofia da Lógica (UFG)

Comitê Organizador
André da Silva Porto (UFG)
Araceli Velloso (UFG)
Rogério Saucedo (UFG)

Comitê Científico
André da Silva Porto (UFG)
Luiz Carlos Pereira (PUC – RJ)
João Vergílio Cuter (USP)
Paulo Faria (UFRGS)

Patrocínio:

CAPES
CNPq

Realização:
Coordenadoria de Pós-Graduação em Filosofia – UFG
Departamento de Filosofia – UFG

Programação

Dia 24/09/2006 – Sala West – Auditório do Address Hotel Résidence

Chegada

20:00h - Abertura

Dia 25/08/2006 – Sala West – Auditório do Address Hotel Résidence

10:00h - Palestra de abertura do colóquio
Profº Dr. Paulo Faria (UFRGS)
Memória e comensurabilidade

12:00h - Almoço

14:30h - Profº Dr. João Vergílio Cuter (USP)
Interpretação e objetividade

15:30h - Coffe Break

16:00h - Profº Dr. Alexandre N. Machado (UFBA)
Deflacionismo e Realismo

Dia 26/09/2006 – Sala West – Auditório do Address Hotel Résidence

10:00h - Profº Dr. Abílio Rodrigues (PUC-RJ)
Truthmakers e descrições definidas

12:00h - Almoço

14:30h - Prof. Dr Rogério Severo
Existe uma incompatibilidade entre realismo e empirismo? O caso da filosofia de Quine

15:30 h - Coffe Break

16:00h - Profº Dr. Rogério Saucedo (UFG)
Identidade como regra de tradução

Dia 27/09/2006 – Sala West – Auditório do Address Hotel Résidence

10:00h - Profº Dr. Luiz Carlos Pereira (PUC – RJ)
Fragmentos Construtivos da Lógica Clássica

12:00h - Almoço

14:30h - Profº Dr. Abel Lassale (UFSM)
Geometria e normatividade

15:30h - Coffe Break

16:00h - Profº Dr. Wagner Sanz (UFG)
Argumento e Hipótese, O Problema dos Julgamentos Hipotéticos

Dia 28/09/2006 – Sala West – Auditório do Address Hotel Résidence

10:00h - Profª Dr.ª Araceli Velloso (UFG)
Identidade definicional e de conteúdo

11:00 h - Profº Dr. André Porto (UFG)
Identidade e Domínios

12:00h - Almoço

14:30h - Palestra de Encerramento
Profº Dr Marco Ruffino (UFRJ)
Indexicais e Necessidade

16:00h - Encerramento

Lançamento do meu livro

Filosofia da Matemática e História da Matemática

...a survey of set theory's historical genesis would be valuable even if did no more than remind us that set theory has a history; that in itself would aid the nascent historicism in the philosophy of mathematics. I hasten to note, however, that I also have a more narrowly focused philosophical goal. I would like to undermine two myths which stand in the way of an adequate philosophical grasp of set theory.

Myth #1: The development of mathematical set theory has been significantly influenced by notions borrowed directly from everyday thought.

Myth #2: One can expect to have an essentially sound notion of what a mathematical set is prior to learning anything about mathematical set theory. [Stephen Pollard. Philosophical Introduction to Set Theory. Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1990, p. 14]

Acho que merece nota o fato de Pollard falar aqui de uma história da matemática, não de uma história da filosofia da matemática. Pollard não está dizendo que para julgar se o que um filósofo da matemática diz sobre o conceito de conjunto é correto devemos investigar a história da filosofia. Além disso, o que esse filósofo diz sobre esse conceito é correto porque o conceito é como ele diz que é e não porque tem a história que tem, mesmo que para saber como ele é devamos (se devemos) investigar sua história. E seja o que for que "saber como ele é” signifique, a necessidade de saber como ele é por meio da sua história não parece ser algo de que o matemático (qua matemático) necessite.

A estratégia de Pollard para “detonar” (expressão dele: “to bust”) os mitos 1 e 2 consiste principalmente em mostrar diferenças essenciais entre o conceito ordinário (ou “commonsensical”) de conjunto e o conceito matemático de conjunto. Ele dedica um capítulo inteiro do livro (“II Offspring of Analysis”) à exposição de alguns pontos essenciais da história do surgimento da teoria dos conjuntos, a fim de mostrar quais foram os interesses matemáticos que motivaram o surgimento da teoria e mostrar que o conceito ordinário de conjunto não desempenhou nenhum papel em qualquer momento dessa história. Na maior parte do capítulo seguinte (“III Commonsense Sets”), ele analisa a linguagem ordinária para determinar as características essenciais do conceito ordinário de conjunto e, na última secção, analisa os axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo (a versão menos controversa da teoria) para mostrar que o conceito ordinário de conjunto é essencialmente diferente do conceito matemático, pois os conjuntos ordinários não obedecem a todos os axiomas da teoria de Zermelo.

Mas se o capítulo III é independente do capítulo II, como parece ser, ou seja, se podemos examinar a linguagem ordinária e a teoria dos conjuntos de Zermelo independentemente de se fazer investigações sobre a história da teoria dos conjuntos, isso não torna o capítulo II dispensável para os objetivos de Pollard? Se sabemos que o conceito ordinário de conjunto é essencialmente diferente do conceito matemático, então sabemos de antemão que apenas uma confusão conceitual poderia nos fazer acreditar no mito 1, pois o que esse mito diz não apenas não aconteceu, mas não poderia ter acontecido (salvo se os próprios criadores da teoria dos conjuntos estavam conceitualmente confusos, coisa que Pollard não admite). E próprio Pollard afirma isso no final do capítulo II:

Having seen that commonsense notions of set did not significantly influenced the development of set theory, we shall (in the following chapter) discover that they could not have. [p. 39]

Não me parece que a parte histórica do texto de Pollard, qua histórica, tenha feito mais do que mostrar que a teoria dos conjuntos tem uma história. O seu método histórico parece supor conhecimentos que podem ser adquiridos independentemente do conhecimento da referida história (embora não da própria história, é claro): a análise da linguagem ordinária e a teoria dos conjuntos. Meu ponto é: o objetivo de Pollard, principalmente no que se refere ao mito 2, pode ser atingido independentemente do método “historicista”. Esse método não parece necessário; ao menos não no presente caso.

(Imagem: Georg Cantor (1845-1918), o primeiro grande teórico dos conjuntos e dos números infinitos)

Fictionalism (Stanford EP)

Por coincidência, acaba de ser publicado o verbete "Fictionalism", de Matti Eklund, na Stanford Encyclopedia of Philosophy. Nesse artigo, também é abordado o ficcionalismo em outras áreas da linguagem, tal como a linguagem ética.

Ficcionalismo e Naturalismo

Hartry Field, em Science Without Numbers (Princeton: Princeton UP, 1980), aceita que o melhor argumento em favor da existência dos objetos matemáticos é o argumento da indispensabilidade de Quine e Putnam. O argumento seria mais ou menos o seguinte:

(1) A matemática diz que há objetos matemáticos.
(2) A matemática é indispensável para a teoria científica T (ou seja, T é verdadeira apenas se o que a matemática diz for verdadeiro).
(3) T é verdadeira.
(4) Portanto, existem objetos matemáticos.

Segundo Field, se esse argumento falha, então temos boas razões para acreditar na inexistência de objetos matemáticos. Field questiona (2). Ele defende o que se chama ficcionalismo. Segundo o ficcionalismo, em princípio podemos fazer ciência sem usar matemática. Nós a usamos porque é útil como uma espécie de recurso simplificador das teorias que nos permite inferir afirmações não matemáticas de afirmações não matemáticas. Mas podemos fazer todas essas inferências, segundo Field, sem usar a matemática. Ele procura mostrar isso em detalhe no caso da teoria newtoniana da gravitação. Outros procuram fazer o mesmo no caso das teorias físicas atuais (cf. M. Balaguer. Platonism and Anti-Platonism in Mathematics. Oxford: OUP, 1998). Em suma, segundo Field, quando falamos sobre objetos matemáticos, falamos sobre o que não existe (sobre ficcções) como se existisse, como um auxílio dispensável para falar do que existe (os objetos físicos). Parece que se Field estiver correto, então a resposta correta à questão sobre a existência de objetos matemáticos não é dada nem pelos físicos e nem pelos matemáticos, mas por alguém que reflete sobre o que ambos fazem, o filósofo (que pode ser, mas não necessita ser, também matemático ou físico).

(EN3) Verdade e Objetividade

- Mas se acredito que os números existem, embora sejam inobserváveis ou imperceptíveis e não estejam em nenhum lugar, então não estou admitindo a existência de entidades abstratas? - Se isso significa que estou admitindo que algumas afirmações da forma "Existe um número tal que..." são verdadeiras e que não faz sentido dizer "O número três está muito distante daqui" ou "Vi o número três há uns dois dias" e frases semelhantes, então por que não descrever essas admissões como a admissão da existência de entidades abstratas? - Mas a questão é: por que essas frases não fazem sentido? - Porque estão em desacordo com as regras de uso de suas expressões componetes! Nessas frases se faz combinações excluídas por essas regras. - Sim, mas por que seguimos essas regras ao falar sobre os números? - "Falar sobre os números"? Frases matemáticas em que usamos numerais são descrições? Números são coisas como pedras, cuja existência podemos admitir independentemente de "falarmos sobre" eles? - Bem, números existem objetivamente, não? De outra forma, como o que dizemos sobre eles poderia ser objetivamente verdadeiro? - Mas essa pergunta supõe que frases matemáticas em que usamos numerais são descriçôes. - Bem, elas são verdadeiras ou falsas. E como poderiam ser verdadeiras ou falsas se não fossem descrições? - Você aprendeu a usar "verdadeira" em conexão com frases matemáticas comparando-as com entidades "objetivas"?

Formalismo e Significado

In the context of game formalism, the phrases like 'language' and 'symbol' are misleading. In just about any other context, the purpose of language, first and foremost, is communicate. We use language to talk about things, usually things other than language itself. In its normal usage, a symbol symbolizes something. The word 'Stewart' stands for the person Stewart. So one would think that the numeral '2' stands for the number 2. This is just what the game formalist denies, or demurs from. [Stweart Shapiro, Thinking About Mathematics, p.143]

Quando digo "Corra", sobre o que estou falando? Estou falando sobre a ação de correr? O que estou dizendo sobre ela? Não estou comunicando algo? Ou, melhor, não estou me comunicando? As palavras "se" e "portanto" representam ou estão no lugar de alguma coisa? O que significa dizer que "um símbolo simboliza alguma coisa"? Não é análogo a dizer que toda palavra tem um significado? E quem negaria isso (exceto, é claro, para aquelas que, por ventura, não tenham)? Isso é certo: nós usamos símbolos e os compreendemos. E na medida em que os compreendemos, podemos dizer que significam alguma coisa ou têm significado. Mas admitir isso não nos compromete com a tese (nem com a negação da tese) que, em todos os casos, um símbolo tem significado porque ele éstá no lugar de alguma coisa, como se todo símbolo fosse um tipo de nome. Isso é certo: um símbolo não se reduz a uma entidade física, como uma marca de tinta num papel. Deve haver algo mais que torne essas marcas símbolos. Mas admitir isso não nos compromete com a tese (nem com a negação da tese) que esse "algo mais" é algo no lugar do qual o símbolo está.

(EN2) A Existência dos Números

- Parece problemático dizer que os números existem porque não podemos observá-los, não sabemos onde estão, etc. - Mas porque algo existente deveria ser observável e estar em algum lugar? Essa exigência é imposta pelo conteúdo de "existir"? Não dizemos que existe a função de coordenador do departamento? E podemos observar essa função? Ela está em algum lugar? - Certamente podemos observar alguém exercendo essa função em algum lugar. - Mas analogamente podemos observar numerais exercendo certa função em algum lugar (no quadro, na tela do computador, na folha de papel, etc.). E dizemos que dois numerais expressam o mesmo número justamente quando ambos exercem a mesma função dentro da linguagem a qual pertencem.

Matemáticos e a Filosofia da Matemática

A opinião dos matemáticos sobre o que é matemática tem algum tipo de autoridade em relação a não-matemáticos? Um matemático não pode ser um competente matemático e fornecer uma descrição errada da natureza da sua atividade?

(EN1) A Existência dos Números

- Números existem? - Bem, dizemos coisas como "Existe um número que somado a ele mesmo é igual a 8". Se essa afirmação é verdadeira, então números existem, não? - Mas a milenar controvérsia ontológica sobre as entidades matemáticas não pode ser resolvida assim, por meio de um apelo cego à nossa linguagem ordinária, pode? - Bem, é a linguagem dos matemáticos! - Mas talvez eles estejam enganados. - Se estiverem, então afirmações como a mencionada acima são falsas. E se forem, então a verdade não tem muita importância, tem? Mas antes de mais nada: por que parece problemático dizer que números existem?

Thinking About Mathematics

Estou relendo Thinking About Mathematics, de Stewart Shapiro (OUP, 2000). É uma ótima introdução à filosofia da matemática, embora não contemple a filosofia da matemática de Wittgenstein. Isso certamente reflte o modo como as reflexões de Wittgenstein vêm sendo tratadas nas discussões sobre filosofia da matemática nas últimas décadas. O livro se divide em quatro partes. A primeira parte apresenta algumas da principais questões da filosofia da matemática. A segunda é dedicada à apresentação da posição de quatro paradigmas da história da filosofia da matemática: Platão, Aristóteles, Kant e Mill. A terceira parte é dedicada à grande discussão da virada do século IXX para o século XX, em que concorriam três posições principais: logicismo (Frege, Russell), formalismo (Hilbert) e intuicionismo (Brouwer, Dummett). A última parte é dedicada às posições contemporâneas do debate sobre a ontologia da matemática. Shapiro apresenta o realismo o anti-realismo e finaliza com o que ele considera uma alternativa: o estruturalismo. Ele defende essa posição em um livro sistemático sobre o assunto, Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology (OUP, 2000).