O paradoxo de Lewis Carroll e a lógica dos nomes de cores

Lewis Carroll

No texto "O que a tartaruga disse à Aquiles", Lewis Carroll apresenta um experimento de pensamento que revela um paradoxo da argumentação. Ele imagina que os personagens do paradoxo da dicotomia, formulado pelo filósofo pré-socrático Zenão de Eléia, a tartaruga e Aquiles, levam a cabo um diálogo. Aquiles pede à tartaruga que suponha que ela aceita as premissas da seguinte inferência, A e B, mas não aceita a conclusão Z, e por isso, não aceita a condicional C:

(A) Duas coisas que são iguais a uma terceira são iguais entre si.
(B) Os dois lados desse triângulo são iguais a um terceiro.
(Z) Os dois lados desse triângulo são iguais entre si.

(C) Se A e B são verdadeiros, Z deve ser verdadeiro.

Ele então imagina alguém tentando convencê-la a aceitar Z convencendo-a de que a condicional D é verdadeira:

(D) Se A, B e C são verdadeiros, então Z é verdadeiro.

A tartaruga disse que, se ela se recusou anteriormente a aceitar C, do mesmo modo, poderia aceitar A, B e C e negar Z, ou seja, poderia negar D. E mesmo que aceitasse D, a tartaruga poderia negar E:

(E) Se A, B, C e D são verdadeiros, então Z é verdadeiro.

Essa argumentação poderia prosseguir infinitamente, sem que a tartaruga fosse convencida a aceitar Z.

Qual é a lição a ser tirada dessa situação paradoxal? Primeiramente, note-se que a inferência A-Z tem a seguinte forma:

(A) ∀x,y,z(x=y⋏z=y)→x=z
(B) a=b⋏c=b
(Z) ∴a=c

Esta é uma forma válida de inferência. Mas, se a aceitação da validade de uma inferência qualquer consiste na aceitação da verdade da condicional cujo antecedente é a conjunção das premissas e o consequente é a conclusão, então parece que essa condicional é uma premissa oculta dessa inferência e, portanto, essa inferência é um entimema. No caso da inferência A-Z, a premissa oculta seria C:

(C) ((∀x,y,z(x=y⋏z=y)→x=z)⋏(a=b⋏c=b))→a=c

Dessa forma teríamos a seguinte inferência:

(A) ∀x,y,z(x=y⋏z=y)→x=z
(B) a=b⋏c=b
(C) ((∀x,y,z(x=y⋏z=y)→x=z)⋏(a=b⋏c=b))→a=c
(Z) ∴a=c

Mas, agora temos uma nova inferência, cuja validade é aceita quando se aceita a verdade da condicional que a corresponde, a saber, D:

(D) ((∀x,y,z(x=y⋏z=y)→x=z)⋏(a=b⋏c=b)⋏(((∀x,y,z(x=y⋏z=y)→x=z)⋏(a=b⋏c=b))→a=c))→a=c 

Mas, pelo mesmo argumento anterior, essa condicional é uma premissa oculta da inferência A-Z.  Mas se a colocamos entre as premissas, temos uma nova inferência, cuja validade é aceita quando se aceita a verdade da condicional que a corresponde, a saber, E. E assim por diante, ad infinitum. Essa reflexão nos leva à conclusão de que toda inferência contém infinitas premissas. Mas se é assim, não poderíamos jamais chegar à conclusão, pois isso deveria ser feito por meio da aceitação de todas as premissas, uma por uma, o que é impossível.

O que gera esse paradoxo é a confusão entre regra e proposição, em um certo sentido desses termos. A aceitação da validade da inferência A-Z não consiste na aceitação da verdade de uma proposição condicional, que poderia figurar como premissa em uma inferência, mas na aceitação de uma regra que constitui o significado de alguns termos que aparecem na inferência, que no caso da inferência A-Z, são os conectivos lógicos: o quantificador universal, a conjunção, a implicação e a identidade. Esta regra é uma regra de inferência. Quem não reconhece a validade da inferência A-Z não sabe seguir este regra e, portanto, tem alguma dificuldade de entendimento de algum ou de todos esses conectivos lógicos.

O mesmo ponto pode ser exemplificado por um outro caso, que possui uma diferença em relação ao caso de Lewis Carroll. Considere a seguinte inferência:

1. Este papel é completamente verde.
2. Logo, este papel não é completamente vermelho.

Alguém poderia dizer que esta inferência também é um entimema, cuja premissa oculta seria:

3. Tudo aquilo que é completamente verde não é completamente vermelho.

Mas alguém poderia compreender os termos "verde" e "vermelho" e ignorar a verdade de 3? Tudo leva a crer que não. Portanto, 3 é uma regra da inferência que constitui o significado de termos que aparecem na inferência 1-2, a saber, "verde" e "vermelho". Disso decorre que, embora válida, essa inferência não é válida devido à sua forma, mas devido ao conteúdo desses termos. Colocar 3 entre as premissas de 1-2 seria o mesmo erro que colocar C entre as premissas de A-Z. Quem não reconhece a validade de 1-2 não vai reconhecê-la acrescentando-se 3 entre as premissas, pois quem não reconhece a validade de 1-2 não compreende os termos "verde" e "vermelho".