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sexta-feira, 12 de abril de 2013

Paradoxo da dicotomia (Zenão)

Zenão de Eléia
Um paradoxo ou inferência paradoxal é uma inferência que parece ter as seguintes três características: premissas verdadeiras, conclusão falsa e validade dedutiva. É claro que uma inferência não pode ter essas três características, pois uma inferência válida é justamente aquela que não pode ter premissas verdadeiras e conclusão falsa.

O filósofo pré-socrático Zenão de Eléia (490 b.c.-430 b.c.) formulou por volta de 14 paradoxos envolvendo conceitos e crenças físicas fundamentais. Um desses paradoxos é o paradoxo da dicotomia.

Suponha que um objeto se desloca do ponto A ao ponto B. Antes de atingir o ponto B, objeto deverá passar pela metade do caminho entre A e B, o ponto A1. Antes de atingir o ponto A1, o objeto deverá passar pela metade do caminho entre A e A1, o ponto A2. E assim por diante. Até quando essa divisão das distâncias pode ser feita? Parece que infinitamente. E isso é verdade de todas as distâncias entre dois pontos quaisquer. Sendo assim, parece que entre dois pontos quaisquer há infinitas distâncias. Logo, se deslocar de um ponto ao outro envolve percorrer infinitas distâncias. Uma tarefa que envolve realizar um número infinito de ações é uma tarefa impossível, pois nunca pode ser finalizada (se ela for finalizada, então o número de ações para realizá-la não é infinito). Se se deslocar de um ponto a outro envolve percorrer infinitas distâncias, então se deslocar de um ponto a outro envolve a realização de infinitas ações. Logo, se deslocar de um ponto a outro é uma tarefa impossível. O movimento espacial consiste justamente em se deslocar de um ponto a outro. Logo, o movimento espacial é impossível. Com base nesse argumento, Zenão acreditava que o que acreditamos ser movimento espacial é ilusão. Para ele, o mundo era estático, tal como Parmênides também acreditava.


Leituras

Bradley Dowden, Zenos's Paradoxes
Nick Huggett, Zeno's Paradoxes

9 comentários:

  1. Caro professor Alexandre, pensando sobre o Paradoxo de Zenão, cheguei aos seguintes raciocínios, sem estar certo de que estão de todo coerentes (apesar de ter me divertido bastante me ocupando de uma questão tão instigante):

    O problema de Zenão é o problema do ponto. O ponto existe como conceito, e, por definição, não é mensurável; logo, não haverá valor mínimo que limite as divisões. Sabe-se que a mínima divisão é um ponto (porque ele á a unidade mínima que compõe uma reta¹), mas as dimensões deste ponto não são conhecidas. Por isso, não se sabe quantas operações de deslocamento serão necessárias fazer para que o espaço finito seja vencido (apesar de se saber que os pontos A e B não coincidem). Na verdade, Zenão falha por não enxergar o ponto como conceito e por perder de vista o fato de que a quantidade de subdivisões de um trecho não interfere na qualidade finita deste trecho nem na qualidade de deslocamento de um móvel por ele. A grande questão está na ideia subjacente de que o móvel não tem a condição de se locomover livremente; de que ele não pode andar metade, ou ¾ ou o dobro da distância entre os pontos A e B. O fato de haverem infinitas subdivisões no percurso (que são, aliás, convencionais) não faz a menor diferença para o móvel. Sou levado a crer, portanto, que este é o aspecto falho do paradoxo de Zenão: associar a qualidade de deslocamento do móvel à qualidade infinitesimal da reta - uma coisa simplesmente não interfere na outra. O fenômeno "deslocamento do móvel" não está associado à conjectura "subdivisões infinitas da reta".


    1 - Existem duas asserções acerca do elemento reta. São elas: 1) o ponto é a unidade mínima que compõe uma reta e 2) uma reta é composta por infinitos pontos.

    Problema: uma reta conhecida r sai do ponto A e vai ao ponto B. Por um lado a) sabe-se que a menor subdivisão desta reta é um ponto, por outro b) sabe-se que o ponto é uma unidade não-mensurável. Logo, a reta é um elemento infinitesimal, apesar de ser finita. Como pode se conhecer a unidade mínima constitutiva de um objeto mensurável sabendo-se que esta unidade mínima não tem dimensão? Em outras palavras, como um elemento sem dimensão - o ponto - compõe um elemento com dimensão - a reta?

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    1. Vc está apenas tornando o problema mais agudo. A matemática é usada para modelar o espaço (para se dar uma descrição verdadeira do espaço) e um segmento de reta, por mais finito que seja, contém infinitos pontos. Se isso está certo, então temos os elementos do problema, não a sua solução.

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  2. O que vc acha da solução que o Gilbert Ryle apresentou ao paradoxo no seu livro "Dilemas"?

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  3. O problema do paradoxo da dicotomia de Zenão seria então a noção de infinito?

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  4. O problema então do paradoxo da dicotomia de Zenão está na noção de infinito que os gregos antigos (ele e Parmênides) tinham?

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    1. Não aprendemos ainda hoje na escola que qualquer segmento de reta tem infinitos pontos?

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  5. Professor, sou aluno do Instituto Federal de São Paulo, e meu Professor exemplificou algumas conceituações com esse mesmo paradoxo. A minha questão é, não seria um desacerto abordar *certos* problema fisícos (concretos e tangíveis) com metodologias conceituais ? Afinal de contas, nesse paradoxo, quando assumimos que esse intervalo de espaço possui infinitos pontos e podemos dividi-lo ao meio infinitamente, também assumimos que podemos fazer isso concretamente. Se essa reta fosse um caminho real, dividiriamos até sua partícula mais básica de distância, a partícula mais básica da matéria, o que inviabiliza uma divisão pelas leis físicas.. em outras palavras, um ponto adimensional não pode representar um ponto no mundo real exatamente.

    Meu Professor deu o exemplo de uma flecha disparada em direção à um alvo fixo.

    Obrigado pela atenção Professor !

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    1. Mas a divisibilidade de que trata o paradoxo é do espaço em si, não das coisas que estão no espaço. E assim é porque modelamos o espaço por meio da geometria.

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